Estimación e Inferencia Estadística

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Mtro. Santiago Ríos

Inferencia Estadística

La inferencia estadística se refiere al conjunto de operaciones que realizamos sobre los datos para obtener estimaciones y declaraciones de incertidumbre sobre predicciones y parámetros de algún proceso o población subyacente. Desde una perspectiva matemática, estas declaraciones de incertidumbre probabilística se derivan sobre la base de un modelo de probabilidad asumido para los datos observados. En esta sección, cubrimos los conceptos básicos de la modelización probabilística, estimación, sesgo y varianza, y la interpretación de las inferencias y errores estadísticos en el trabajo aplicado. Además, introducimos el tema de la incertidumbre en la inferencia estadística y por qué es un error utilizar pruebas de hipótesis o significancia estadística para atribuir certeza a datos ruidosos.

Muestras y Poblaciones

En biología, a menudo se desea hacer inferencias sobre una población, que se define como el conjunto de todas las posibles observaciones de interés. Es importante aclarar que en este contexto hablamos de una población estadística, no necesariamente de una población biológica. Las observaciones que recolectamos de la población forman una muestra, y el número de observaciones en la muestra se denomina tamaño de muestra, generalmente simbolizado como $n$.

Las características que medimos en la muestra se llaman estadísticos (por ejemplo, la media muestral).
Las características de la población se llaman parámetros (por ejemplo, la media poblacional).

El método básico para recolectar observaciones en una muestra se llama muestreo aleatorio simple, donde cada observación tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. Por ejemplo, asignar un número a cada rata en un corral y seleccionar una muestra usando una tabla de números aleatorios. Sin embargo, en la práctica, rara vez realizamos un muestreo completamente aleatorio en biología, confiando a menudo en el muestreo fortuito por razones prácticas.

El objetivo es siempre tomar la muestra de manera que no cree sesgo a favor de ninguna observación.

Definición de la Población

Es fundamental definir claramente la población al inicio de cualquier estudio, incluyendo los límites espaciales y temporales de dicha población, ya que nuestras inferencias estadísticas estarán restringidas a estos límites. Si, por ejemplo, recolectamos datos de una población de animales en una ubicación específica en diciembre de 1996, nuestras inferencias se limitarán a esa ubicación y período de tiempo. No podemos inferir directamente lo que sucederá en otros lugares o momentos, aunque podríamos especular o hacer predicciones.

Muestreo Aleatorio y Estimación de Parámetros

El principal motivo para realizar un muestreo aleatorio de una población bien definida es usar los estadísticos muestrales (por ejemplo, la media o la varianza de la muestra) para estimar los parámetros poblacionales (por ejemplo, la media o la varianza de la población). Los parámetros poblacionales no pueden medirse directamente debido al tamaño de las poblaciones, que suelen ser demasiado grandes para una medición práctica.

Es importante recordar que los parámetros poblacionales se consideran valores fijos pero desconocidos, por lo que no son variables aleatorias y no tienen distribuciones de probabilidad. Los estadísticos muestrales, en cambio, sí son variables aleatorias, ya que sus valores dependen del experimento de muestreo. Por lo tanto, tienen distribuciones de probabilidad, llamadas distribuciones de muestreo.

Tipos de Estimadores

Existen dos tipos principales de estimación:

Estimación puntual: Proporciona un único valor que estima el parámetro poblacional. Por ejemplo, la media de una muestra se usa como una estimación puntual de la media poblacional.
Estimación por intervalo: Proporciona un rango de valores que probablemente contengan el parámetro poblacional con una probabilidad conocida. Un ejemplo común es el intervalo de confianza, que indica un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre el parámetro verdadero con una cierta confianza (por ejemplo, 95%).

Ejemplos en R: Estimación Puntual e Intervalo de Confianza

A continuación, se muestran ejemplos en R para calcular una estimación puntual (media muestral) y un intervalo de confianza para la media poblacional.

Estimación Puntual de la Media

Primero, generamos una muestra aleatoria de 100 observaciones con una media de 50 y una desviación estándar de 10.
Luego, calculamos la media muestral, que es una estimación puntual de la media poblacional. Esto se hace con la función mean() en R.

En este código: - Generamos una muestra aleatoria de 100 observaciones con una media de 50 y una desviación estándar de 10. - Calculamos la media muestral, que es una estimación puntual de la media poblacional.

Intervalo de Confianza para la Media

Utilizamos una prueba t para calcular el intervalo de confianza para la media de los datos con un nivel de confianza del 95%. El intervalo se obtiene con la función t.test() en R y luego se extrae el intervalo de confianza con la función $conf.int.

En este código: - Utilizamos una prueba t para calcular el intervalo de confianza para la media de los datos con un nivel de confianza del 95%. - El resultado intervalo_confianza nos proporciona el rango dentro del cual se espera que esté la media poblacional con un 95% de confianza.

Tip

En las próximas lecciones, vamos a calcular y visualizar los estimadores puntuales y de intervalos de manera directa con las librerías ggpubr y ggplot2 en R.

Resumen hasta ahora

La estimación es una parte fundamental de la inferencia estadística y nos permite hacer afirmaciones sobre parámetros poblacionales a partir de muestras.
Existen dos tipos principales de estimación: la estimación puntual, que nos da un único valor como mejor estimación del parámetro, y la estimación por intervalo, que proporciona un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre el parámetro verdadero, acompañado de una medida de incertidumbre.
Vamos a ver ahora el Error Estándar de la Media, la cuál es una medida de la variabilidad en la media muestral que se utiliza mucho en los análisis estadísticos.

Error estándar de la media

Error estándar de la media muestral

El error estándar de la media nos informa sobre la variabilidad en la media muestral. En términos simples, cuantifica cuánto varía la media de una muestra al estimar la media poblacional. Se le llama “error” porque describe la incertidumbre o el error que cometemos al utilizar la media muestral ($(\bar{y}$)) para estimar el verdadero valor de la media poblacional ($(\mu$)).

El error estándar de la media se calcula como:

\[ \text{Error estándar} = \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Donde:

$s$ es la desviación estándar de la muestra.
$n$ es el tamaño de la muestra.

Important

El error estándar nos da una idea de cómo cambiarían las medias muestrales si repitiéramos el proceso de muestreo varias veces. Si el error estándar es grande, las medias de las diferentes muestras variarán mucho entre sí, lo que sugiere que es menos probable que una media muestral individual esté cerca de la verdadera media poblacional. Por otro lado, si el error estándar es pequeño, las medias muestrales serán más consistentes entre sí, lo que nos da más confianza en que la media muestral es una buena estimación de la media poblacional.

Si observas la fórmula para calcular el Error Estándar, verás que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Esto significa que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, el error estándar disminuye, lo que indica que las medias muestrales son más consistentes y se acercan más a la media poblacional.

Graficar el Error Estándar en R

Para visualizar el error estándar, podemos usar gráficos que muestren la media y el error estándar para diferentes grupos o condiciones.
Esto nos permite comparar visualmente las medias y la incertidumbre asociada con cada una.
La forma más fácil de hacer esto, es con el paquete ggpubr.
Vamos a usar los datos ToothGrowth de R, que contienen la longitud de los dientes de conejos tratados con diferentes dosis de vitamina C.

Primero, grafiquemos SOLO la media de len (longitud de los dientes) para cada dosis de vitamina C (dose).
Especificamos el tipo de gráfico con ggline() y agregamos la media y un gráfico de dispersión (datos individuales) con add = c("mean", "jitter").

Ahora, agreguemos el error estándar a la gráfica anterior.
Observa que simplementre usamos mean_se en lugar de mean para agregar la media y el error estándar de la media a la gráfica.

Ahora, si especificamos algún color para agrupar los datos por supp (tipo de suplemento), podemos ver cómo cambia la longitud de los dientes con diferentes dosis de vitamina C y tipos de suplemento.

Si quisieramos un gráfico de barras, escribiríamos el siguiente código.
Observa que usamos ggbarplot() en lugar de ggline() para crear un gráfico de barras.
El argumento position = position_dodge(0.8) se utiliza para separar las barras de diferentes grupos.

Intervalos de confianza para la media poblacional

Un intervalo de confianza es una estimación por intervalo que proporciona un rango de valores que probablemente contengan el parámetro poblacional, en este caso, la media poblacional ($\mu$).

Note

La interpretación más común de un intervalo de confianza del 95% es que, si realizáramos el muestreo y el cálculo del intervalo muchas veces, el 95% de los intervalos generados contendrían el verdadero valor de la media poblacional.

Es crucial entender que un intervalo de confianza no es una declaración probabilística sobre la media poblacional. El parámetro poblacional $\mu$ es fijo pero desconocido, por lo que el intervalo de confianza no dice que hay un 95% de probabilidad de que $\mu$ esté dentro del intervalo calculado. En su lugar, lo que este intervalo refleja es que el proceso utilizado para calcularlo generará intervalos que contienen $\mu$ el 95% de las veces si repitiéramos el procedimiento de muestreo muchas veces con muestras diferentes.

Como resumen, Antelman (1997) describe un intervalo de confianza como “un intervalo generado por un procedimiento que proporciona intervalos correctos el 95% del tiempo”.

gráficos de intervalo de confianza en R

También podemos visualizar los intervalos de confianza en un gráfico para comparar las medias y la incertidumbre asociada.
Usaremos los mismos datos ToothGrowth de R para este ejemplo.
Con el paquete ggpubr, podemos usar ggerrorplot() para crear gráficos de intervalo de confianza.

Grados de libertad (df)

El concepto de grados de libertad es fundamental en muchas pruebas estadísticas, pero a menudo se malinterpreta. En términos simples, los grados de libertad se refieren al número de observaciones en una muestra que son libres de variar cuando se estima un parámetro. Por ejemplo, si ya conocemos la media muestral, entonces solo $n-1$ observaciones pueden variar libremente, ya que la última observación está determinada por la media y las demás observaciones.

En general, los grados de libertad se calculan como:

\[ \text{df} = n - p \]

Donde: - $n$ es el número de observaciones. - $p$ es el número de parámetros estimados.

Por ejemplo, cuando estimamos la varianza muestral, ya hemos calculado la media, por lo que solo $n-1$ observaciones son libres de variar.

Ejemplo Práctico:

Si tienes una muestra de 5 números y conoces la suma total de ellos, solo 4 de esos números pueden ser elegidos libremente. El quinto número está fijado por la necesidad de que la suma total se mantenga constante. Por lo tanto, en este caso, hay 4 grados de libertad.

Primero, calcula la media de la muestra: $(10 + 12 + 15 + 13 + 14) / 5 = 12.8$.

Ahora vamos a calcular la Varianza

Para calcular la varianza de la muestra, normalmente restamos la media de cada observación, elevamos al cuadrado esos valores, sumamos esos cuadrados, y luego dividimos por el número de observaciones menos 1 (n - 1), que son los grados de libertad.
¿Por qué n - 1? Porque estamos utilizando la media de la muestra en lugar de la media verdadera de la población, lo que introduce un sesgo. Dividir por n - 1 corrige este sesgo, haciendo que la varianza calculada sea un estimador imparcial de la varianza poblacional.

Considera que si ya conoces la media de la muestra, solo 4 de los valores originales pueden variar libremente. El quinto valor está determinado por la necesidad de que la suma total de los valores sea consistente con la media calculada. Esto es lo que se refleja al usar n - 1 en el cálculo de la varianza.

Tip

Por lo general, las funciones de R calculan los grados de libertad automáticamente, por lo que no es necesario hacerlo manualmente. Sin embargo, es útil comprender el concepto de grados de libertad y por qué se utilizan en las pruebas estadísticas. Por ejemplo: - La función var() de R automáticamente utiliza n - 1 como el divisor, lo que refleja el uso de los grados de libertad en el cálculo de la varianza muestral.